EUKLEİDES
(. İÖ. Y. 300-İskenderiye)

Eski Yunan-Roma kültürünün en önemli matematikçisi
İlk çağın en önemli matematikçilerinden olan Eukleides, matematikle ilgili “Elemanlar” adlı bilimsel incelemesiyle tanınır. Kalıcı olan “Elemanlar” çalışma-sı, Eukleides’i matematiğin gel-miş geçmiş en önemli öğreticisi yapmıştır. Hayatı hakkında Mı-sır’da öğrencilik yaptığı dönemler hariç, çok az bilgi vardır. M.Ö 325-265 yılları arasında yaşadığı sanılıyor.
Eukleides “Elemanlar” adlı çalışmasında Eudoxus’un pek çok teoremini bir araya getirip onlara bilimsel bir çalışma düze-ni vermiştir. Ayrıca Theaetetus’
un da pek çok teoremini eksiksiz bir şekilde hazırlamış, kendinden önce başıboş ve düzensiz bir şekilde yapılan çalışmaları düzenleyip onları bilimsel formda sunmuştur. Birinci Ptolemy döneminde yaşamıştır ; Archimedes’e göre Eukleides bir Platonistti ve Platon’a ve felsefesine sem-patiyle bakıyordu, bu yüzden de “Elemanlar” adlı eserindeki şekillere Pla-tonik şekiller adını verdi.
Hayatı :Eukleides hakkında çeşitli kaynaklar tarafından verilen fakat güvenilir olmayan bilgiler vardır; ayrıca iki de ekstra bilgi vardır. Bunların ilki Arap kaynaklarındandır; buna göre Eukleides Naucrates’in oğluydu ve Tyre kentinde doğmuştu. Fakat matematik tarihçileri bunların tümüyle uydurma ve gerçek dışı olduğuna inanmaktadırlar.
Bu bilgilerin ikincisine göre ise Eukleides Megara kentinde doğmuştur. Bu da ilk kaynakta verilen hatalı bilgiden kaynaklanmaktadır. Aslında Megaralı Eukleides adında birisi vardır fakat o bir filozoftur ve matematik-çi Eukleides’ten 100 yıl önce yaşamıştır. Eukleides o dönemlerde yaygın o-larak kullanılan bir isimdir, o yüzden de bu tür karışıklıklar olmaktadır.
Archimedes’in Proclus adlı çalışmasında tam ve kesin olarak emin olmasak da Eukleides’in adı geçmektedir. Küreler ve silindirlerle ilgili bö-lümde Eukleides’in adı geçmekte ve referans olarak verilmektedir. Sonuç olarak Archimedes Eukleides’e eserlerinde atıfta bulunmuş hatta zaman zaman tartışmaya girmiştir. Kaynakwh webhatti.com: [IMG]http://www.webhatti.com/smiley.gif[/IMG]
Kesin ve güvenilir olmasa da Eukleides’in çalışmalarını Archimedes’ten önce, Plato ve Eudoxus’ tan sonra yaptığı konusunda genel bir düşünce vardır.

Eukleides ve hayatı hakkında üç önemli ve mümkün teori vardır. Bu teoriler zekice toplanmış, mümkün ve mantıklıdır:
1.Eukleides tarihi bir karakter değildir. Yazdığı “Elemanlar” kitabı ve
diğer çalışmaları onu bir sembol yapmıştır.
2.Eukleides, Alexandria’da çalışan matematikçiler takımının lideridir. Bunların hepsi Eukleides’in eserlerine bir katkıda bulunmuşlardır. Hatta Eukleides öldükten sonra onun adı altında kitap yazmaya devam etmişler-dir.
3.Eukleides bir tarihi karakter değildir. Eukleides’in tamamlanmış çalış-maları Alexandria’daki matematikçiler takımı tarafından yazılmıştır. Euk-leides ismini ondan 100 yıl önce yaşamış tarihi bir karakter olan Megaralı Eukleides’ten almıştır.

1. teori hakkında kuvvetli deliller vardır. Bu teori herkes tarafından hiç soru sorulmadan 2000 yıldır kabul edilmektedir ve bunun çelişkili ol-duğu hakkında bir kanıt da yoktur.
1’i kabul etsek bile Eukleides’in Alexandria’da güçlü bir matematik o-kulu kurduğundan az da olsa şüphe duyarız. Evet onun bazı yetenekli öğ-rencileri vardır ve bunlar eserlerinde Eukleides’e yardım etmiş olabilirler. Oysa (2. teoriye karşın) farklı kitapları farklı matematikçiler yazmıştır. Bu-nun biçimden farklı, kayda değer başka ve doğrudan kanıtları da vardır.
Ï3. teori bu teoriler arasında gerçek dışı gibi gözükse de o kadar ger-çekten uzak değildir. Hatta 20. yüzyılda buna Bourbaki örneği vardır. Pek çok yazar Bourbaki adı altında “Eléments de mathématique” adlı 30 ciltlik kitabı yazmıştır.
3. teorinin eksikliğini gösteren en önemli yargı Bourbaki ve arka-daşlarıdır. Kitap Bourbaki adı altında yayınlanmıştır; fakat kitaba emeği geçen diğer matematikçilerin hepsi günümüzde meşhurdur. Eukleides’in kitabını yazanlar eğer varlarsa günümüzde onları bilmemiz gerekirdi. Ne-rede bu kişiler?
1. teorinin doğruluğunu varsayabiliriz 1 doğrudur fakat Eukleides hak-kında hiçbir bilgi içermemektedir. Onun çalışmalarını dönemin tarihî olaylarını yorumladıktan sonra değerlendirmeliyiz. Eukleides Atina’da Platon’un akademisinde Eudoxus ve Theaetetus geometrisi öğrenmiştir.

Eukleides’in hiçbir çalışmasının bir önsözü yoktur, hiçbiri günümüzde bize kalmamıştır. Yani onun karakteri hakkında fazla birşey göremiyoruz; diğer Yunan matematikçilerin önsözünde gördüğümüz gibi. Onun hakkında Pappus şöyle der :
“Eukleides en dürüst ve ilişkide bulunduğu kişilere karşı son derece iyi niyetli, dikkatli ve yumuşak davranan; bilge ve alçak gönüllü birisiydi.”

Eukleides’in en önemli yapıtı: “Elemanlar”

“Elemanlar” tanımlarla başlar ve beş aksiyomdan oluşur;
1)İki noktadan yalnız ve bir doğru geçer.
2)Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
3)Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.3
4)Bütün dik açılar eşittir.
5)Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilir.

Ïİlk üç aksiyom başlangıç aksiyomudur; örneğin ilk aksiyom iki nokta arasında düz bir doğru çizilebileceğini ifade eder. Bu aksiyomlarda noktaların, doğruların, çemberlerin ve diğer geometrik şekillerin var olduğu var sayılmıştır. Kitapta üzeri kapalı daha başka varsayımlar da mevcuttur. Örneğin iki noktayı birleştiren tek bir doğru olduğu farz edilmiştir. Benzer olarak sırasıyla ikinci ve üçüncü aksiyomlar, doğru çizgi ve çember çizimi üzerinedir.
ÏDört ve beşinci aksiyomlar farklı bir yapıya sahiptir. Burada bütün doğru açıların eşitliği söylenmiştir. Bu apaçıktır fakat bu homojen uzayı öngörür ve şekillerin uzaydaki duruş pozisyonlarından bağımsız olduğu-nu belirtir. Meşhur olan beşinci aksiyomda ise bir doğruya bir noktadan sa-dece bir paralel doğru çizilebileceğini belirtir. Eukleides’in bu aksiyomu Eukleides Geometrisi terimini çıkarttı; ta ki 19. yüzyıla kadar. 19. yüzyılda bu aksiyom terk edildi.

Eukleides’in ortak ülküler adı verilen aksiyomları da vardır. Aslında spesifik geometri özellikleri yoktur, bunun yerine çeşitli varsayımlar matematiğin tümden gelen bir bilim olmasını sağlamıştır. Örneğin; aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine eşittir.
Sidonlu Zeno Eukleides’ten 250 yıl önce yaşamış ve Eukleides’e ilk defa önermelerin yalnız aksiyomlar olmadan sonuca gitmede yeterli olmayacağını göstermiştir. Bunun üzerine Eukleides zekice ve kurnazca çeşitli varsayımlarda bulunmuştur.

“Elemanlar” kitabı 13 kitaba ayrılmıştır. Bunlar sırasıyla;
I)Benzerlikler, paraleller, Pisagor teoremi
II)Özdeşlikler, alan hesabı, altın kesim
III)Daireler
IV)Dairelerin içine ve dışına çizilen çokgenler
V)Oran ve Orantı Kavramı
VI)Çokgenlerin Benzerlikleri
VII ve VIII ve IX)Aritmetik, eski sayılar teorisi
X)Ortak ölçüsü olmayan büyüklükler
XI ve XII ve XIII)Uzay Geometrisi.

Birden altıya kadar olan kitaplar düzlemsel geometri konusunu kapsar.İlk iki kitabın belirli bölümlerinde temel üçgen özellikleri, paralel ve paralel kenarlar,dikdörtgenler ve karelerden bahsedilmiştir.
Üçüncü kitapta çemberin özelliklerine değinilmiştir, dördüncü kitapta ise bunlarla ilgili problemlere yer verilmiştir.
Beşinci kitapta Eudoxus’un oran ve orantı hakkındaki çalışmalarını planlamış ve bunları eşit ve eşit olmayan büyüklüklerde uygulamıştır. Heath şöyle der: “Yunan matematiği; geometride ses getiren ve orantıyı kullanan bu buluştan gurur duyabilir.”
Altıncı kitap ise beşinci kitaptaki düzlemsel geometriyle ilgili çıkarılan sonuçları anlatır.
Yedinci kitap ise sayı teorisiyle ilgilidir. Kitabın belli bazı bölüm-lerinde sayı teorisine giriş ve Eukleides alogaritmasını ve iki sayının en büyük ortak bölenini bulmasını anlatır.
Sekizinci kitap geometrik düzende sayılardan bahseder.
Onuncu kitapta irrasyonel sayılar teorisi vardır. Eukleides genellikle Theaetetus’ un ispatlarından yararlanmış ve onları değiştirerek Eudoxus’ un orantı tanımına uydurmuştur.
ÏOn bir ve on üçüncü kitaplar ise üç boyutlu geometriyle ilgilidir. On birinci kitapta gerekli üç kitapta kullanılan gerekli temel tanımlar verilmiş-tir.
On ikinci kitapta genel sonuçlar verilmiştir. Bu sonuçlar şöyledir çemberler, kareler, küreler kendi aralarında benzerdir ve bire birdir. Bu sonuçlar tabi ki Eudoxus’un sayesinde bulunmuştur. Eukleides burada bazı teoremlerin ispatını da Eudoxus’un “exhaustion metoduna” göre yapmıştır.
“Elemanlar” eseri beş çeşit polihdranın genel özelliklerinin tanıtıldığı on üçüncü kitapla son bulur. Bu kitap Theaetetus’un geniş bilimsel çalışmaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Eukleides’in “Elemanlar” eseri açıklık ve teoremlerin başlangıcı ve ispatı açısından olağanüstüdür.

Bu muhteşem kitap bütün küçük kusurlarına rağmen halen en büyük matematik kitabı olarak günümüze kadar kalmıştır. Eski yunan döneminde bile yetenekli matematikçiler bununla beraber oturmuşlardır. Örnek olarak Heron, Pappus, Porphyry, Proclus ve Simplicius. Alexandria’lı Theon bu eseri daha sonra yeniden düzenlemiştir. Dilini yenilemiş, kitabı daha anlaşılır ve açık hale getirmiştir. Eukleides’in “Elemanlar” adlı eserinin Eukleides zamanından beri hayatta kalması gerçekten muhteşem bir hikayedir. Bizim Eukleides’in eserlerine ulaşmamız altı parça halinde ve resim ve şekilleri olan yazıların 1906/07 ve 1907/1908 yılları arasında Elephantine adasında bulunmasıyla olmuştur. Bu yazılar Platon’un ölümünden 100 yıl öncesi kadar eskidir.
“Elemanlar”ın ikinci parçası ise M.Ö 75-125 yılları arasında yeniden bazı kişilerin “Elemanlar”ın maddelerini anlamaya çalışmasından yeniden ortaya çıkmıştır.
Binden fazla baskı yapan “Elemanlar”, ilk baskısı olan 1482 yılından beri devam etmektedir. Bu eserlerin baskılarının bazı yazınsal değişikliklere uğradığı tartışılır. Neredeyse yazıldığı devirden şimdiki zamana kadar kalan “Elemanlar” insanlar tarafından kullanılagelmiştir. Geometrik sebep-lerin, teoremlerin, ve metodların 19. yüzyıla kadar kullanılan birincil kay-nağı olmuştur. Bazen “Elemanlar”ın batı dünyasında en çok çevrisi yapılan ve basılan kitap olduğu söylenir. Eukleides’in bunun dışında günümüze kalan kitapları da vardır, bunların da çevrileri yapılmaktadır.

Eukleides’in öteki yapıtlarını şöyle sıralayabiliriz;
Data adlı kitabında şekillerin özelliklerine bakılmış ve tüm dengelim yöntemiyle diğer özellikleri bulunmuştur. Bölme kısmında ise bir şekli ikiye istenilen oranda ikiye bölme anlatılmıştır.
Bir şekilde, belirli elemanların bilinmesi durumunda, başka elemanların da bilinebileceğini, yani belirlenebileceğini ortaya koyan ve 94 önermeden oluşan Dedomena ile Arapça ve Latince çevirileri sonradan bulunup yeniden düzenlendikten sonra 1915’te yayımlanan ve verilen bir şeklin bir ya da birden fazla doğruyla birbirine eşit ya da aralarında belirli bir oran olacak şekilde alanlara bölünmesine ilişkin problemleri içeren Peri diaireseon biblion (Şekillerin Bölünmesi Üzerine Kitap), Eukleides’in geometriye ilişkin günümüze kalan öbür iki çalışmasıdır.
Eukleides’in Optika (Optik) adlı eseri eski Yunan’da ilk defa perspektif alanında yapılan çalışmadır. Optik kitabının özgün metninin yanısıra Yunanlı bilgin Theon’un eleştirel düzenlemesi de gene Yunanca olarak gü-nümüze gelmiştir.
Katoptrika (Yansımalar) Eukleides’in değildir; konuyla ilgili eski çalış-malardan yapılan bir derlemedir
Phaenomena matematiksel astronomide yararlanılmak üzere küre geometrisine ilişkin yazılmış bir kitaptır ve Pitaneli Autolykos’un aynı konudaki bir çalışmasının benzeridir. Bu kitapta yıldızların çeşitli zamanlardaki pozisyonlarından bahsedilmektedir. Ayrıca yıldızların do-ğuş ve batış zamanları da belirtilmiştir. Günümüze Yunanca olarak ulaş-mıştır.
Proklos ve öğrencisi ve öğrencisi Marinos tarafından Eukleides’e mal edilen müzik kitabı iki yapıttan oluşmaktadır. Bunlardan Katotome kanonos (Gamın Bölünümü) bazı eklemelerle Pisagorcu müzik kur***** içerir. Gamdaki notaların belirli perdelerle ayrılmasını konu alan Eisagoge armonike (Armoniye Giriş) ise Aristoksenos’un öğrencisi Kleonides tarafın-dan yazılmıştır
-Geometri konusunda günümüze ulaşamamış dört yapıt Yunan kaynaklarınca açıklanmakta ve Eukleides’e mal edilmektedir;
Pseudaria’nın (Yanlışlıklar) amacının, konuya yeni başlayanlara, geometrik düşüncede kolayca düşünülebilecek yanlışları göstermek ve öğrencileri bunlara karşı uyarmak olduğu belirtilmektedir.
Üç kitaptan oluşan Porismata (Sonuçlar) Pappos’un bir özetini verdiği yüksek düzeyde bir çalışmaydı. Anlaşıldığına göre, Eukleides “sonuçlar” deyimi ile ilk önem bakımından problem ile teorem arasında bulunan bir önerme türünü kastediyordu.
Eukleides’in konikler üzerine dört kitaptan oluşan yapıtı, Apollonios’un "Konikler"inin ilk dört kitabına uyar; ama Apollonios kendi yapıtına bazı yeni teoremler eklemiştir. Eukleides; konikleri eski adlandırı-lış biçimiyle, dik açılı, dar açılı ve geniş açılı koni kesitleri olarak anıyordu. Bunları parabol, hiperbol ve elips olarak adlandıran ve tanımlarını veren Apollonios olmuştur.
Pappos ayrıca Eukleides’in Topoi pros epiphaneia (Yüzeylerin Geometrik Yerleri) adlı yapıtından söz etmektedir. İki kitaptan oluşan bu yapıt, büyük olasılıkla, yüzeyler üzerindeki geometrik yerleri, kendileri bir yüzey oluş-turan geometrik yerleri ve konikleri içeriyorlardı.
Gregory’nin yayımlamış olduğu “Eukleides’in bütün yapıtları” baskısında yer alan De levi et ponderoso (Hafiflik ve Ağırlık Üzerine) başlıklı ve Aristoteles dinamiğinin ilkelerini içeren
Eukleides’in şu kitapları tamamen kayıptır.: Yüzey locisi(2 kitap), Porisms (3 kitap, 171 teorem ve 38 lemma), konikler (4 kitap), müziğin elemanları.

“Herşeyin bilimsel gibi gözükmesi ve gerçekle onu izleyen bilimsel prensipler gerçeklikten sapıp körü körüne benimsendikleri zaman ise bilimsellikten uzaklaşıyorlar.” Eukleides maddeleri ve metodları kolay anlaşılır hale getirmiştir
Eukleides birinci sınıf bir matematikçi olmayabilir fakat uzun yaşayan “Elemanlar” eseri onu antik çağın, belki de bütün çağların en iyi matematik öğreticisi yapmıştır.

Eukleides’in kitaplarının günümüz versiyonu:

Archibald, Raymond Clare (1875-1957). Eukleides’in şekillerin bölün-mesiyle ilgili kitabı. Cambridge University Yayınları, Cambridge, 1915.
Berggen J.L. Eukleides’in Fenomenası: Eukleides’in Helenistik çağda yaptığı astronomik çalışmaların tercümesi Garland, 1996
Bretschneider, Karl Anton. Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides; ein historischer Versuch. Teubner, Leipzig, 1870.
Busard, H.L.L. Eukleides’in "Elemanları"nın ilk Latince tercümesi. Pontifical Enstitüsü.
Chasles, M. (Michel) (1793-1880) Les trois livres de porismes d' Euclide, rétablis ... d'aprés la notice ... de Pappus. Mallet-Bachelier, Paris, 1860.
Frankland, William Barrett. Eukleides’in Elemanlarının didaktik bi-çimde yorumlandığı ilk kitap. Cambridge Univ Yayınları, New York, 1905.
Heath, Sir Thomas Little (1861-1940)Eukleides’in 13 kitabının giriş bölümleri ve yorumlarıyla birlikte tercümesi. Üç cilt. University Press, Cambridge, 1908. İkinci Baskısı: University Press, Cambridge, 1925. Yeni basım: Dover Publ., New York, 1956. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928),60-62.
Heiberg, J. L. (Johan Ludwig) (1854-1928)Eukleides’in omnia operası. 8 cilt. ve ilaveler. 1883-1916. Hazırlayan J. L. Heiberg ve H. Menge.
Kayas, G. J. Elemanlar(Fransızca). CNRS, 1978.
Knorr, Wilbur Richard Eukleides’in Elemanlarının Gelişimi. cilt 15. Reidel, Dordrecht-Boston, 1975.
Morrow, Glenn R. Proclus: Eukleides’in Elamanlarının ilk kitabının yorumu. Çeviren G. R. Morrow. Princeton Univ Press, Princeton, 1970.
Mueller, Ian. Matematik felsefesi ve Philosophy of mathematics ve tümdengelim yapısı . MIT Press, Cambridge, Mass., 1981.
Schmidt, Robert. Eukleides’in eğilimleri , commonly genelde bilgileri adı verilir. Golden Hind Press, 1988.
Taisbak, C. M. Renkli dörtgenler. Eukleides’in elemanlarının 10 kitabı-nın rehberi. Opuscula Graecolatina, 24. Museum Tusculanum Press, Co-penhagen, 1982.
Thomas-Stanford, Charles Eukleides’in “Elemanlar”ının ilk baskıları. Bibliographical Society, London, 1926. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928), 59-60.
äThomson, William. Pappus' Eukleides’in Elamanları’nın yorumu. Cambridge, 1930.

Eukleides’in ele aldığı konular şunlardır:


¨geçişme özelliği,
¨Pisagor teoremi,
¨cebirsel özdeşlikler,
¨çemberler,
¨tanjantlar,
¨düzlem,
¨geometri,
¨orantı teorisi,
¨asal sayılar,
¨mükemmel sayılar,
¨pozitif sayıların özellikleri,
¨irrasyonel sayılar,
¨üç boyutlu şekiller,
¨sınırlı ve çembersel bölgeler,
¨LCD,
¨GCM ve
¨temel katıların yapımı.


Özellikle dikkate alınması gereken konular tahmin (yaklaşma) meto-dudur. Bu metod Archimedes tarafından integral hesabının bulunmasın-da kullanılmıştır ve yine bütün asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunun ispatında kullanılmıştır.
Eukleides Yunan Matematiğinin standartlaşmasına yardım etmiştir.
Elemanlar kitabı Latin ve Arap dillerine çevrilmiştir, uzun süreli bir eser olmuştur. Bu periyotta Eukleides dünyanın gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edildi. Kitapları 1903 yılına kadar okullarda kullanıldı.
Eukleides bölme, fenomena, optik, konikler ve prizmalar hakkında ö-nemli bilgiler içeren kitaplar yazmıştır. Eukleides matematiği standart-laştıran ya da standartlaştırmaya çalışan ilk kişi olmuştur. Çalışmaları da gelecek nesil için bir rehber olmuştur.
Eukleides’in “Elemanlar”ını yoğun ve ciddi bir şekilde inceleyen ve devrinin en tanınan matematikçisi olan Clavius (1532-1562), hayatını Eukleides’in oran ve orantıyla ilgili bulduğu özellikleri geliştirmeye ada-mıştır. Clavius bunu sadece rasyonel sayılara uygulayan Eukleides’in özelliğini geliştirmiş ve irrasyonel sayılara da uygulamıştır. Ayrıca Eukleides’in ispatını yapamadığı bu özelliği de ispatlamıştır. Bunlarla beraber oran ve orantı konusunda Eukleides’in çeşitli açıklamalarını baz alan Clavius bunları geliştirmiş ve yeni teoremler ortaya atmıştır. Eukleides’in "Elemanlar" ının ilk baskısını 1574’te yapan Clavius büyük başarı sağlamıştır ve ününü iyice arttırmıştır. Daha sonra da 1589, 1591, 1603, 1607 de Opera of Matematica’yı yayımlamıştır.